9.2.    Основные виды задач идентификации

Back

В зависимости от того, какими сведениями о системе располагает исследователь, различают три типа задач идентификации.

1.    Структурная идентификация применяется в случаях, когда априорные сведения об объекте исследования исчезающе малы, никаких гипотез о связи входных и выходных параметров в распоряжении исследователя не имеется.

2.    Параметрическая идентификация применяется в тех случаях, когда исследователь располагает сведениями, достаточными для того, чтобы однозначно выбрать структуру модели. Задача заключается в том, чтобы найти численные значения параметров (коэффициентов) модели.

3.    Структурно-параметрическая идентификация применяется в случаях, когда некоторые априорные сведения об исследуемой системе имеются, но их недостаточно, чтобы однозначно определить структуру модели. Задача заключается в том, чтобы уточнить структуру модели (например, определить степень полиномиальной зависимости) и определить параметры модели.

9.3.  Структурная идентификация математических моделей процесса резания

Задача построения моделей идентификации в общем случае включает в себя два основных этапа. Первый этап связан с определением структуры математической модели (структурная идентификация).

Определение 9.2

Структурной идентификацией математической модели мы будем называть процедуру определения общего вида функциональной зависимости, связывающей значения технологических параметров  и моделируемой характеристики Y.

Определение общего вида функциональных зависимостей, описывающих взаимосвязь входных и выходных переменных, по экспериментальным данным является чрезвычайно сложной задачей, принципиально не имеющей единственного решения. Во всех случаях предпочтительным является определение структуры модели на основе теоретических исследований в предметной области.

В случае если теоретическое определение структуры невозможно, одним из способов уменьшения сложности задачи является выбор вида (структуры) эмпирической функции из некоторого класса функций, обладающих хорошими аппроксимирующими свойствами. Наиболее часто для описания экспериментальных данных используются следующие зависимости.

1.    Многомерные полиномиальные модели вида

      , (9.2)

где  -     число переменных;  - степень полинома, причем для любого  выполняется условие ;  - количество членов полинома ;  - количество сочетаний (неупорядоченных выборок) из  по .

Известно, что многомерной полиномиальной зависимостью может быть описан любой набор экспериментальных данных с любой заранее заданной степенью точности. Точность описания возрастает с повышением степени полинома. Частным случаем полиномиальных моделей являются двумерные полиномиальные зависимости (см. формулу (5.9))

      . (9.3)

Пример поверхности, описанной полиномиальной зависимостью, приведен на рисунке 9.1.

Рис 9.1.    Примеры поверхностей, построенных на основе полиномиальных зависимостей третьей степени

2.    Частным случаем полиномиальной зависимости при =1 является линейная зависимость, описывающая линейную форму (прямую, плоскость, гиперплоскость) в +1-мерном пространстве:

      . (9.4)

Простейшим примером линейной формы является прямая - линейная форма в двумерном пространстве. Графики, приведенные на рисунке 9.2 иллюстрируют описание одних и тех же наборов экспериментальных данных различными эмпирическими зависимостями.

3.    Мультипликативные (степенные) зависимости вида

      .    (9.5)

Простейшим случаем мультипликативной модели является двумерная степенная функция .

4.    Компаунд-модель. Выражение для двумерного случая

       или .      (9.6)

5.    Экспоненциальная модель. Выражение для двумерного случая

       или .   (9.7)

6.    Модель роста. Выражение для двумерного случая

       или .     (9.8)

7.    Обратная (инверсная) модель. Выражение для двумерного случая

      .      (9.9)

8.    Логарифмическая модель. Выражение для двумерного случая

      . (9.10)

Рис 9.2.    Описание экспериментальных данных различными эмпирическими зависимостями (линейная и полиномиальные зависимости второй и третьей степени, описание по «минимуму отклонения»)

9.    Логистическая модель. Выражение для двумерного случая

       или , (9.11)

где  - заданная исследователем постоянная («верхняя граница»),  ( - максимальное значение функции отклика, полученное в эксперименте).

10.   Модель S-кривой. Выражение для двумерного случая

       или ,      (9.12)

Очевидно, каждая из приведенных двумерных функций является частным случаем многомерной зависимости. Выбор одной из множества эмпирических функций, использующихся для описания экспериментальных данных, производится исследователем либо на основе анализа физической сущности задачи (что предпочтительно), либо с помощью статистических критериев, позволяющих оценить, насколько полно та или иная модель описывает экспериментальные данные.

9.4.  Параметрическая идентификация математических моделей

После проведения структурной идентификации математической модели, проводится параметрическая идентификация, которая заключается в определении численных значений параметров модели.

Определение 9.3

Параметрической идентификацией математической модели мы будем называть процедуру определения численных значений коэффициентов (параметров) в зависимости, связывающей значения технологических параметров  и моделируемой характеристики Y.

При использовании линеаризуемых моделей могут применяться два метода параметрической идентификации - графический и аналитический. Наиболее простым является графический метод определения параметров модели. Аналитический метод идентификации основан на идее минимизации «функции ошибки», описывающей рассогласование между экспериментальными и модельными значениями моделируемого параметра.

Навигация