10.2. Свойства мультипликативных зависимостей

Back

Для того чтобы представить характер функциональных связей между основными характеристиками процесса резания, рассмотрим основные свойства мультипликативных зависимостей, которые используются для их описания.

Простейшей формой мультипликативной (степенной) зависимости является двумерная степенная зависимость

      .     (10.5)

Очевидно, именно такой зависимостью описывается связь между характеристиками процесса резания и каждым из технологических параметров в формулах (10.2)-(10.4). Таким образом, поняв, что из себя представляет функция (10.5), мы сможем понять основной характер связи между технологическими параметрами и определить область применимости мультипликативных моделей. На рисунке 10.1 приведены графики, которые иллюстрируют поведение степенной функции при различных значениях параметра .

Рис 10.1.   Общий вид степенной функции  при различных значениях параметра A

Анализируя графики на рисунке 10.1, мы можем сделать следующие выводы.

1.    При значении параметра >0 степенная функция является непрерывно возрастающей, при <0 - непрерывно убывающей, при =0 значения функции равны постоянной  при любых значениях переменной .

2.    В случае если >0, график функции проходит через начало координат.

3.    В случае если >1, степенная зависимость «опережает» линейную зависимость, если 0<<1 - «отстает» от линейной зависимости (рис. 10.1, а). Если =1, степенная функция превращается в линейную зависимость.

4.    Степенные функции не имеют точек перегиба.

Таким образом, степенные зависимости не могут использоваться в тех случаях, когда для адекватного описания процессов резания требуются функции, имеющие точки экстремума и перегиба (например, при описании зависимости степени усадки стружки от скорости резания или суммарного периода стойкости от времени работы между переточками).

10.3.Графический метод параметрической идентификации математических моделей

Графический метод определения коэффициентов основан на том факте, что при логарифмировании левой и правой части степенной зависимости , она линеаризуется (превращается в линейную) [35, С.67-69]

      .  (10.6)

Следствием этого является то, что степенная зависимость в логарифмических координатах изображается прямой линией.

Как мы говорили ранее, зависимость силы резания от режимов обработки при точении выражается формулой (6.14)

      , (Н).     

При фиксированных значениях подачи  и глубины резания  и заданных условиях обработки приведенная формула будет выглядеть следующим образом

      .     (10.7)

Так, при обработке заготовки из материала с =750 МПа резцом с >0 будет иметь место зависимость . При =5 мм и =0.3 мм/об, =5959. Графики, приведенные на рисунке 10.2 иллюстрирует зависимость , представленную в обычных и логарифмических координатах.

Рассмотрим алгоритм графического определения параметров математических моделей процесса резания. Пусть нам требуется определить значения параметров математической модели  при условии, что структура модели (10.7) известна. Тогда применение графического метода параметрической идентификации сводится к следующей последовательности процедур.

Рис 10.2.   График зависимости  в линейных и логарифмических координатах

1.    Проводим серию опытов по измерению сил резания (отклика) при различных значениях скорости резания (варьируемого параметра), сохраняя постоянными все другие условия (подачу, глубину резания, условия охлаждения и т.д.). Результаты опытов сводим в таблицу, подобную таблице 10.1.

2.    Вычисляем логарифмы значений варьируемого фактора и отклика. Рассчитанные значения также заносим в таблицу 10.1.

3.    Рассчитанные пары значений  и  наносим в виде точек на график (рис. 10.3).

Таблица 10.1

Пример исходных данных для построения

математической модели силы резания

Номер опыта

Значения варьируемого параметра

Значения отклика

Логарифм варьируемого параметра

Логарифм отклика

 

V, м/мин

Pz, Н

ln(V)

ln(Pz)

1

10

4 313

2.30

8.37

2

15

4 061

2.71

8.31

3

20

3 835

3.00

8.25

4

25

3 932

3.22

8.28

5

30

3 624

3.40

8.20

6

35

3 520

3.56

8.17

7

40

3 619

3.69

8.19

 

4.    Проводим на графике прямую, которая, по нашему мнению, «наилучшим образом» описывает нанесенные на график точки. Проведенная прямая представляет собой график «линеаризованной» зависимости (10.7), то есть зависимости

      .     (10.8)

Тогда отрезок, который вычерченная нами прямая отсечет на оси ординат, будет равен , а тангенс наклона прямой к оси абсцисс определит значение показателя степени в модели (10.7) . При расчете тангенса угла необходимо учитывать масштаб, в котором откладывались значения координат точек по осям  и . Угол между осью абсцисс и проведенной прямой для нашего случая близок к -8 градусам, а его тангенс близок к -0.14.

Рис 10.3.   Графическое определение параметров мультипликативной модели

5.    Определяем значение коэффициента . Для нашего случая  близок к 8.7. Тогда =6003.

Таким образом, зависимость  выразится формулой , где =6003, =-0.14. На рисунке 10.4 приведен график полученной зависимости. Кроме того, на графике точками обозначены результаты проведенных экспериментов. Как видим, вычисленные параметры модели несколько отличаются от справочных значений, приведенных ранее (см. рисунок 10.2). Причиной таких отличий являются следующие факторы.

Рис 10.4.   График зависимости  в линейных координатах

1.    Результаты измерений, полученные в ходе экспериментов, всегда содержат некоторую (как правило, неизвестную) ошибку, определяемую погрешностью аппаратуры, которая используется для измерений. Эта ошибка опосредованно влияет на результаты математической обработки результатов экспериментов.

2.    На точность получаемых результатов влияет количество проведенных экспериментов. Существует специальная область математики - математическая теория планирования экспериментов, в которой разрабатываются методы планирования экспериментальных исследований и методы оценки точности получаемых математических моделей.

3.    Точность математической модели, значения параметров которой определялись графическим методом, во многом обусловлена точностью проведенных графических построений.

4.    При использовании графического метода выбор прямой, которая «наилучшим образом» описывает результаты экспериментов, является субъективным и неоднозначным. Аналитический метод параметрической идентификации математических моделей позволяет избавиться от субъективности в выборе «наилучшей» эмпирической зависимости.

Навигация