ВВЕДЕНИЕ

Back

Экстремальные задачи — задачи на максимум и минимум —

во все времена привлекали внимание учёных. Из попыток решить

ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые

теории, а иногда и целые направления математики.

В чём причина такого интереса? Во-первых, среди задач на

максимум и минимум много красивых задач, которые интересно

и приятно решать. Но люди занимаются ими отнюдь не только

<из любви к искусству>. Много экстремальных задач, ложащихся

на письменный стол учёного, приходит из практики. Максимумы

и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в ар-

хитектуре, экономике. . . Кроме того, экстремальные задачи самым

неожиданным образом находят применение в науках о природе:

физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружа-

ющий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард

Эйлер (1707—1783), один из величайших математиков, говорил:

<В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл ка-

кого-нибудь максимума или минимума>.

С экстремальными задачами человек начинает знакомиться

в средней школе. Вот, пожалуй, самая известная из них:

1. На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону

от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма AM+BM

наименьшая.

Для решения отразим точку B относительно прямой l, по-

лучим точку B′ (рис. 1). Отрезок BM переходит при симметрии

в отрезок B′M, следовательно, AM+BM=AM+B′M. Согласно не-

равенству треугольника, сумма AM+B′M принимает наименьшее

значение, когда точка M лежит на отрезке AB′ . Таким образом,

M — точка пересечения прямой l с отрезком AB′ ; для этой точки

сумма AM+BM равна длине отрезка AB′ , при другом выборе точ-

ки M эта сумма будет больше AB′ .

Один из американских школьных учебников по геометрии на-

чинается не с понятий <точка>, <прямая> и не с первых аксиом,

а сразу с разбора этой задачи. Настолько наглядно, просто и по-

A

B

B′

M

Рис. 1

учительно её решение! С её помощью можно

объяснить закон отражения света <угол паде-

ния равен углу отражения>, поскольку в од-

нородной среде свет распространяется по крат-

чайшему пути. Кроме того, эта простая задача

лежит в основе так называемых фокальных

свойств конических сечений — эллипса, гипер-

болы и параболы. Об этом речь пойдёт в § 2.

Считается, что впервые задача о кратчай-

шем пути между двумя точками с заходом

3

на прямую, или задача об отражении света, была решена древ-

негреческим математиком Героном Александрийским (I век н. э.)

в трактате <О зеркалах>. Поэтому её иногда называют задачей Ге-

рона. Её можно интерпретировать и как сугубо практическую: где

на прямой дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы

суммарный путь до неё от деревень A и B был наименьшим?

Однако обобщить задачу Герона и её решение не так-то просто.

Что будет, например, если деревень не две, а три?

2. На плоскости дана прямая l и три точки A, B и C по одну

сторону от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма

AM+BM+CM наименьшая.

Все попытки решить эту задачу при помощи симметрии

ни к чему не привели. Для решения этой и многих других за-

дач на максимум и минимум математикам пришлось изобретать

совершенно новый метод, называемый теперь вариационным. Мы

займёмся им в §§ 6, 7. А вот другой пример:

3. На плоскости дан выпуклый четырёхугольник. Найти точ-

ку, сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.

Решение совсем просто: искомая точка M является точкой

пересечения диагоналей четырёхугольника. В самом деле: по нера-

венству треугольника, сумма расстояний AM+CM не меньше диа-

A B

C

D

M

Рис. 2

гонали AC, а сумма расстояний BM+DM

не меньше BD. Поэтому минимум суммы

расстояний равен AC+BD и достигается

в точке пересечения диагоналей (рис. 2).

Та же задача, но для треугольника, тре-

бует более тонких рассуждений. Для фор-

мулировки ответа понадобится так называ-

емая точка Торричелли треугольника (§ 3).

А для того чтобы решить эту задачу для

произвольного многоугольника, вновь придётся прибегнуть к вари-

ационному методу. При этом ответ может быть подсказан из фи-

зических соображений (§ 8). Рассмотрим другое обобщение:

4. Соединить вершины данного четырёхугольника системой до-

рог наименьшей суммарной длины.

Решение этой задачи приведёт к понятию сети Штейнера для

данной системы точек. Об этом речь пойдёт в § 3. Как видим,

похожие между собой задачи на максимум и минимум могут тре-

бовать совершенно различных путей решения.

В §§ 2—5 будет рассказано о задачах, которые решаются геоме-

трически; в §§ 6, 7 мы коснёмся вариационных методов, а в § 8 —

физических методов; § 9 и приложения целиком посвящены тео-

ремам существования в экстремальных задачах.

Вернёмся теперь к геометрическим решениям. Приём, которым

решается задача Герона, можно назвать <выстраиванием отрез-

ков в прямую линию>. Суть его проста: с помощью движений

плоскости несколько отрезков выстраиваются в ломаную, которая,

по неравенству треугольника, будет иметь наименьшую длину,

когда её звенья лежат на одной прямой. Так, в задаче Герона в ка-

честве движения использовалась симметрия относительно прямой l.

5. Внутри угла дана точка M. Найти на сторонах угла точки A

и B (по одной на каждой стороне), для которых периметр тре-

угольника MAB наименьший.

6. Внутри угла даны точки M и N. Найти на сторонах угла точ-

ки A и B (по одной на каждой стороне), для которых периметр че-

тырёхугольника с вершинами в точках M, A, B, N наименьший.

7. Дана прямая l и точки A и B по разные стороны от неё.

Найти на прямой точку M, для которой величина |AM−BM| принимает наименьшее значение.

8. Деревни A и B разделены рекой, берега которой параллель-

ны. Где на реке нужно поставить мост, чтобы путь из одной

деревни в другую был наименьшим (мост перпендикулярен бере-

гам реки)?

9. Деревни A и B разделены двумя параллельными реками

разной ширины. На каждой реке нужно поставить по мосту так,

чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим (мосты

перпендикулярны берегам).

Навигация