§ 9. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Back

<Чистые теоремы о существовании служили в действительно

сти важнейшими вехами развития нашей науки>.

Д а в и д Г и л ь б е р т

Теоремы существования по праву входят в число высших до-

стижений математики. Порой гораздо легче доказать, что объект

обладает какими-нибудь замечательными свойствами, чем дока-

зать, что он вообще существует. Как мы видели на примере изо-

периметрической задачи, именно вопрос о существовании подчас

бывает наиболее важным во всём доказательстве. Такие теоремы,

как правило, очень красивы, но вместе с тем и трудны. Достаточно

вспомнить, что наиболее сложные проблемы современной мате-

матики, например, недавно доказанные великая теорема Ферма

и гипотеза Пуанкаре, а также не доказанные и не опровергнутые

до сих пор гипотеза близнецов и гипотеза <P=NP>, являются про-

блемами существования.

Задачи на минимум и максимум часто помогают доказать

теоремы существования, причём в самих теоремах ни о каких ми-

нимумах и максимумах может и не упоминаться. Идея довольно

проста: точка или фигура, дающая решение экстремальной задачи,

обладает некоторыми специальными свойствами. Поэтому, решив

экстремальную задачу, мы тем самым доказываем, что объект с та-

кими свойствами существует. Приведём здесь два примера, взятых

из разных областей математики. Первый — из выпуклого анали-

46

за, второй — из теории динамических систем.

Теорема Минковского—Радона. Внутри любой ограниченной

выпуклой фигуры на плоскости найдётся точка M, обладаю-

щая следующим свойством: любая хорда фигуры, проходящая

через M, делится этой точкой в отношении, не превосходящем

двух, т. е. если через M провести произвольную прямую, пересе-

кающую фигуру по отрезку KL, то отношение большего из двух

отрезков KM, LM к меньшему не превосходит двух.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из всех треугольников ABC с вершинами

на границе фигуры Φ выберем треугольник наибольшей площади.

Тогда точка пересечения медиан этого треугольника — искомая.

Для доказательства проведём через вершины треугольни-

ка ABC прямые, параллельные противоположным сторонам. Они

образуют треугольник A′B′C′ , для которого точки A, B и С

B A

A′ C B′

C′

KK

LL

Q

S

TT

M

P

Φ

Рис. 33

являются серединами сторон (рис. 33).

Докажем, что треугольник A′B′C′ со-

держит фигуру Φ. Если это не так, то

на границе Φ найдётся точка P, ле-

жащая вне этого треугольника, а это

значит, что отрезок MP пересекает од-

ну из сторон треугольника A′B′C′ (пусть

это сторона A′B′ ). Тогда площадь тре-

угольника ABP будет больше площади

треугольника ABC (у них сторона AB —

общая, а высота, опущенная на эту сто-

рону, у треугольника ABP больше). Это

невозможно, так как треугольник ABC

имеет наибольшую площадь среди всех

треугольников, вписанных в фигуру Φ.

Далее всё просто. Произвольная

B A

A′ C B′

C′

Q

S

TT

M

Рис. 34

прямая, проходящая через точку M,

пересекает фигуру Φ по отрезку KL.

Пусть она также пересекает отрезок BC

в точке T, а отрезок B′C′ — в точке S

(рис. 34). Из подобия треугольников

MTC и MSC следует равенство MS=

=2MT. Далее, MS≥ML и MT≤MK,

то ML≤2MK. Так же доказывается,

что и MK≤2ML.

Для следующего примера нам пона-

добится понятие гладкой кривой. Кри-

вая на плоскости называется гладкой,

если в каждой её точке можно провести

единственную касательную. У гладкой

кривой нет вершин и заострений. На-

47

пример, многоугольник не является гладким, а вот окружность,

эллипс, гипербола — гладкие. Если функция одной переменной

имеет производную в каждой точке, то её график — гладкая кри-

вая. Гладкая замкнутая кривая на плоскости может быть задана

уравнением g(x)=0, где функция g имеет производную в каждой

точке.

Теорема Биркгофа о замкнутом биллиарде. Для произвольной

гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей вы-

пуклую фигуру, существует биллиард с k вершинами, где k≥3 —

произвольное число.

Напомним, что биллиардом называется многоугольник с вер-

шинами на данной кривой, любые две соседние стороны которого

образуют с кривой равные углы. Так, ортотреугольник является

биллиардом для треугольника. Биллиард также можно интерпре-

тировать как замкнутую траекторию луча света внутри кривой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество всех k-уголь-

ников с вершинами на данной кривой. При этом позволим вер-

шинам совпадать друг с другом. Среди этих многоугольников

найдём тот, который имеет максимальный периметр. Он и являет-

ся биллиардом. Для доказательства заметим сначала, что он имеет

ровно k различных вершин, а не меньше (в противном случае

добавим несколько недостающих вершин, периметр от этого толь-

ко увеличится). Возьмём теперь три соседние вершины x1, x2, x3

и обозначим через l касательную к кривой в точке x2. Так как наш

многоугольник имеет наибольший периметр, то максимум функ-

ции f(x)=|x−x1|+|x−x3| на дуге x1x3 нашей кривой достигается

в точке x2. Значит точка x2 является решением задачи

f(x)=|x−x1|+|x−x3|→max при условии g(x)=0.

Согласно теореме Лагранжа, векторы g′ (x2) и f′ (x2) коллинеарны.

Вектор g′ (x2) перпендикулярен касательной l, а f′ (x2)=u1+u3,

где u1 — единичный вектор, направленный из точки x1 в x2, а u3 —

единичный вектор, направленный из x3 в x2. Сумма этих векто-

ров должна быть перпендикулярна l, следовательно, они образуют

равные углы с l, что и требовалось доказать.

Надо заметить, что гладкость кривой в теореме Биркгофа

существенна! Например, кривая, ограничивающая тупоугольный

треугольник, не имеет треугольного биллиарда. Почему? Если тре-

угольник имеет биллиард из трёх вершин, то эти вершины лежат

в основаниях высот, а для тупоугольного треугольника два основа-

ния из трёх лежат вне треугольника.

73. Мы видели, что вписанный k-угольник максимального пе-

риметра является биллиардом. Однако для остроугольных тре-

угольников биллиард (треугольный) соответствует не максималь-

ному, а минимальному периметру (задача Фаньяно). Как объяс-

48

нить это противоречие?

74. Стороны всех k-угольных биллиардов эллипса касаются

некоторого фиксированного эллипса.

75. В выпуклую фигуру площади S всегда можно вписать тре-

угольник площади большей, чем S/4. Вокруг неё всегда можно

описать треугольник площади меньшей, чем 4S.

76. Сформулируйте и докажите теорему Минковского—Радона

для выпуклого тела в пространстве.

77 (Я. Бринкхаус). Для любой тройки попарно скрещиваю-

щихся прямых в пространстве существует единственная тройка

точек A, B и C (по одной на каждой прямой), обладающая таким

свойством: каждая из трёх прямых образует равные углы с дву-

мя соответствующими сторонами треугольника ABC (прямые AB

и AC образуют равные углы с прямой, проходящей через точ-

ку A, и т. д.)

78 (Е. С. Горская). Дан шарнирный пространственный четырёх-

угольник ABCD, длины сторон которого фиксированы, а углы

можно менять. Тогда существует такое положение этого четырёх-

угольника, при котором двугранные углы тетраэдра ABCD при

рёбрах AC и BD — прямые.

П о д с к а з к а. Максимизируйте объём тетраэдра ABCD.

79. Любое движение трёхмерного пространства, имеющее не-

подвижную точку, имеет и неподвижную прямую.

П о д с к а з к а. Считаем, что движение A оставляет на месте начало координат.

Рассмотрите задачу (Ax)・x→max при условии |x|=1 и воспользуйтесь теоремой

Лагранжа.

Навигация