§ 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ

Back

<Книга Природы написана треугольниками, окружностями

и другими геометрическими фигурами, без которых человек

не сможет понять в ней ни единого слова>.

Г а л и л е о Г а л и л е й

Выдающийся математик Карл Зигель писал: <По Лейбницу,

наш мир является лучшим из всех возможных миров, и потому

его законы можно описать экстремальными принципами>. В са-

мом деле, многое в природе происходит по законам минимумов

и максимумов. И, наверное, поэтому многие геометрические зада-

чи на минимум и максимум имеют наглядный физический смысл.

Задача о минимальной длине пути между двумя точками с захо-

дом на прямую линию или задача Снеллиуса могут быть решены

с помощью оптики. При этом мы используем главный принцип:

свет всегда выбирает путь, на который тратится наименьшее вре-

мя. Другой принцип использует механику, он гласит:

Механическая система в состоянии, при котором она имеет

наименьшую потенциальную энергию, находится в равновесии.

Упрощённо этот закон можно выразить так: механическая

система всегда стремится к уменьшению своей потенциальной

энергии. Брошенный камень летит вниз, и его потенциальная энер-

гия, равная mgh (здесь m — масса камня, g≈9,8 — ускорение

свободного падения, а h — высота камня), при этом уменьша-

ется. Растянутая пружина стремится сжаться к первоначальному

состоянию, а значит — уменьшить свою потенциальную энер-

гию. Напомним, что потенциальная энергия пружины равна kx2/2,

где x — растяжение пружины (на сколько изменили её длину),

а k — коэффициент упругости. Вот как можно применить этот

принцип к нескольким классическим задачам.

Задача Фаньяно. Возьмём остроугольный треугольник ABC,

стороны которого сделаны из жёсткой проволоки, и натянем

на него резиновое кольцо (рис. 31). Предполагаем, что трения

нет. Согласно принципу минимума потенциальной энергии, коль-

цо сожмётся до минимально возможной длины (поскольку его по-

43

тенциальная энергия, так же, как

A B

C

A′

B′

C′

N α

β

Рис. 31

и у пружины, равна kx2/2), и в этом

положении будет находиться в рав-

новесии. Значит, в положении равно-

весия периметр треугольника A′B′C′

будет наименьшим. Напишем усло-

вия равновесия для кольца в точке A′ .

На него действуют две равные по

модулю силы натяжения и сила реак-

ции опоры −→N. Так как трения нет,

сила −→N направлена перпендикуляр-

но прямой BC. Сумма этих трёх сил

должна быть равна нулю. В проекции на прямую BC это означает,

что T cos α=T cos β, т. е. α=β. Итак, стороны треугольника наи-

меньшего периметра, вписанного в треугольник ABC, пересекают

стороны треугольника ABC под равными углами. Следовательно,

это ортотреугольник (см. задачу 11).

Задача о минимальной сумме расстояний до k точек. Предста-

вим себе, что точки x1, . . ., xk нарисованы на столе. Просверлим

в этих точках дырки, через которые пропустим верёвки. К каждой

верёвке подвесим груз массой 1 кг, а сверху свяжем верёвки в один

узел. Отпустим все грузы. Система через некоторое время придёт

в положение равновесия. Считая верёвки невесомыми и пренебре-

гая трением, попробуем охарактеризовать это положение.

С одной стороны, оно соответствует минимуму потенциальной

энергии, а это значит, что сумма расстояний от узла до k данных

точек минимальна. В самом деле, выбрав уровень стола за нулевой

уровень, получим, что потенциальная энергия каждого груза рав-

на −mghi (она будет отрицательна), где hi — длина i-й верёвки под

столом. Поэтому минимальная потенциальная энергия системы со-

ответствует положению, когда сумма длин всех верёвок под сто-

x1

x2

x3

x4

x5

x6

m

Рис. 32

лом — наибольшая, а это

значит, что сумма их длин

над столом — наименьшая

(поскольку сумма длин всех

верёвок постоянна).

Итак, в положении рав-

новесия сумма расстояний от

узла x до k данных точек

минимальна. Если при этом

узел застрял в одной из ды-

рок xi, то минимум суммы

расстояний достигается имен-

но в точке xi. Если же это

не так, то сумма сил, дей-

44

ствующих на узел со стороны верёвок, равна нулю. Все силы

натяжения верёвок равны по модулю, так как все грузики имеют

равные массы. Следовательно, сумма равных по длине векторов,

направленных из точки x к точкам x1, . . ., xk, равна нулю, откуда

и следует ответ. В частности, при k=3 получаем точку Торричелли.

Изопериметрическая задача. Возьмём прямоугольный лист бу-

маги и склеим из него цилиндр. Поставим цилиндр вертикально

на гладкую плоскость и нальём в него воду. Будем считать, что

вода не просачивается между плоскостью и цилиндром. Что про-

изойдёт? Ясно, что основание цилиндра под действием воды примет

круглую форму, поскольку давление воды на стенки во все сторо-

ны одинаково. С другой стороны, для того, чтобы потенциальная

энергия была минимальна, центр тяжести налитой воды должен

занять самое низкое положение. Центр тяжести цилиндра распола-

гается на середине его высоты, проведённой из центра основания,

значит, высота уровня воды должна быть минимальной. Высота

равна объёму, делённому на площадь основания. Объём — постоян-

ный, поэтому площадь основания должна быть наибольшей. Итак,

наибольшая площадь основания соответствует кругу.

Вплоть до начала XX века физическое решение считалось

вполне достаточным для математической задачи. По крайней мере,

физические соображения позволяют забыть о проблеме существова-

ния решения, которая подчас бывает чрезвычайно сложна. Теперь,

конечно, одной физической интерпретацией не обойтись. Каждая

математическая задача должна иметь математическое решение!

Хотя бы потому, что физика во многом уповает на интуицию,

на представления человека об окружающей природе. А интуиция

не раз подводила математиков. И всё же нельзя не восхититься

взаимосвязью вещей в природе, когда сложная задача может быть

объяснена наглядно, с позиции обычного здравого смысла! А кро-

ме того, физические соображения помогают угадать правильный

ответ (который потом, конечно же, придётся строго математически

обосновать).

Как получить вписанный шарнирный многоугольник? Обра-

тимся к задаче 52. Для любого шарнирного k-угольника существу-

ет единственное положение, при котором он вписан в окружность.

Причём в этом положении он имеет максимальную площадь. Как

найти это положение, т. е. найти углы многоугольника или радиус

описанной окружности? Оказывается, при k≥5 решить эту задачу

можно лишь приближённо. Например, нахождение радиуса опи-

санной окружности приводит к уравнению

arcsin

a1

2R

+. . .+arcsin

ak

2R

=π.

Здесь a1, . . ., ak — данные стороны k-угольника. Это уравнение

45

можно решить приближённо (или, как говорят математики, чи-

сленно) с помощью компьютера. Но ни получить точного решения,

ни построить такой многоугольник с помощью циркуля и линей-

ки в общем случае не удастся.

Физические соображения предлагают следующий практиче-

ский способ решения. Из жёстких прямоугольных листов картона

одинаковой высоты, но разной ширины, склеим прямую призму

так, чтобы углы между боковыми гранями могут свободно ме-

няться. Поставим её вертикально на гладкую плоскость и нальём

в неё воду. Тогда основание призмы примет форму вписанного

многоугольника. Читатель сам без труда докажет это, пользуясь

результатом задачи 52.

71. Придумайте физические интерпретации задачи о мини-

мальной сумме расстояний от точки прямой до k данных точек,

а также задач 33, 56, 61, 63, 64, 69.

72. Объясните физическую интерпретацию задачи о сетях

Штейнера как формы мыльной плёнки, натянутой между гвоздя-

ми. Почему если сетей Штейнера несколько, то мыльная плёнка

может принять форму любой из них, а не только самой короткой?

Навигация