§ 7. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Back

В 1755 году 19-летний юноша, будущий великий французский

математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), изложил в пись-

ме к Леонарду Эйлеру свой метод решения задач по нахождению

максимумов и минимумов. Сам Эйлер решал множество задач

такого рода и каждый раз придумывал особый приём для но-

вой задачи. Вопрос Эйлера, к которому он приглашал учёных,

состоял в том, чтобы изыскать общий метод решения. Юный Ла-

гранж блестяще справился с этой проблемой, и разработал свой

алгоритм, решавший единообразным способом самые разные экс-

тремальные задачи, включая изопериметрическую. Восторженная

реакция Эйлера не заставила долго ждать: <Ваше решение изо-

периметрических проблем безукоризненно, и я рад, что тема,

которой я давно занимаюсь, доведена Вами до близкого конца>.

40

Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Од-

на из них состоит в том, как искать минимум функции, если

на функцию заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь

носит название <правило множителей Лагранжа>. Мы сформули-

руем это правило в несколько упрощённой форме.

Теорема Лагранжа. Предположим, на плоскости задана функ-

ция f(x) и дана кривая g(x)=0. Если функция f, ограниченная

на данную кривую, достигает своего минимума или максимума

в точке xˆ , то векторы f′ (xˆ ) и g′ (xˆ ) коллинеарны (при условии,

что обе функции имеют производные в точке xˆ ).

В общей теореме Лагранжа функция f зависит не от двух,

а от n переменных, и есть несколько функций g(x), задающих

ограничения gi(x)=0, i=1, . . ., m. Мы оставим эту теорему без

доказательства, это завело бы нас слишком далеко в сторону ма-

тематического анализа. Посмотрим, как превосходно она работает

при нахождении максимумов и минимумов.

Теорема (Закон Снеллиуса о преломлении света). Две среды

разделены прямой линией, в первой скорость распространения

света равна v1, а во второй — v2. Если луч света выходит

из первой среды под углом α1 к нормали и входит во вторую

x1

x2

α__________1

α2

–u1

–u2

Рис. 30

под углом α2, то

sin α1

sin α2

=

v1

v2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямая

на плоскости задаётся уравнением

n・(x−x0)=0,

где x0 — произвольная точка прямой,

а n — вектор, перпендикулярный пря-

мой. Выберем произвольную точку x1 на

входящем пучке света и точку x2 на пре-

ломлённом (рис. 30). Свет всегда распро-

страняется по пути, занимающему наименьшее время. Значит,

нужно найти на границе сред точку x, для которой величина f(x)=

=

1

v1 |x−x1|+

1

v1 |x−x2| принимает наименьшее значение. Получаем

задачу:

f(x)=|x−x1|

v1

+|x−x2|

v2 →min при условии g(x)=n・(x−x0)=0.

Согласно принципу Лагранжа, в точке минимума векторы f′ (x)

и g′ (x) коллинеарны. Производная f′ (x) равна сумме вектора u1,

41

который имеет длину 1/v1 и сонаправлен с вектором x−x1, и век-

тора u2 длины 1/v2, сонаправленного с вектором x−x2. А произ-

водная g′ (x) равна вектору n. Условие коллинеарности означает,

что сумма u1+u2 перпендикулярна прямой, то есть проекции век-

торов u1 и u2 на прямую равны. Таким образом,

sin α1

v1

=

sin α2

v2

, что

и требовалось.

Ну а теперь мы готовы представить обещанные решения задач о

минимуме суммы расстояний до точки прямой и до точки плоскости.

66. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек плос-

кости до точки на прямой. На плоскости дана прямая и k точек.

Найти (или охарактеризовать) положение точки на прямой, для

которой сумма расстояний до данных точек минимальна.

Р еше н и е. Пусть l — данная прямая, а x1, . . ., xk — данные

точки. Решаем задачу на минимум:

f(x)=|x−x1|+. . .+|x−xk|→min

при условии g(x)=n・(x−x0)=0,

где x0 — произвольная точка прямой l, а n — вектор, перпенди-

кулярный этой прямой. Обозначим через ui вектор единичной дли-

ны, сонаправленный с вектором x−xi. Тогда f′ (x)=u1+. . .+uk,

а g′ (x)=n. По теореме Лагранжа, в точке минимума вектор f′ (x)

коллинеарен n, т. е. перпендикулярен прямой l. Таким образом:

Решением задачи служит точка прямой l, для которой сумма

проекций на прямую k единичных векторов, направленных из

неё в данные точки, равна нулю.

Если из данных k точек есть хотя бы одна, не лежащая на пря-

мой l, то задача имеет единственное решение. Доказать это совсем

просто, если использовать приём из задачи 62. Если k≥3, то такая

точка, вообще говоря, не строится с помощью циркуля и линейки

(вычисление её координаты приводит к уравнению высокой степе-

ни). Поэтому в общем случае у нас нет ничего лучшего, чем то

описание точки минимума, которое мы привели.

67. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек про-

странства до точки на данной плоскости. В пространстве дана

плоскость γ и k точек. Найти (или охарактеризовать) положение

точки на плоскости γ, для которой сумма расстояний до данных

точек минимальна.

Решение этой задачи ничем не отличается от предыдущей

и приводит к похожему ответу:

Минимум достигается в точке x плоскости γ, для которой сум-

ма проекций на плоскость k единичных векторов, направленных

из x в данные точки, равна нулю.

68. Среди всех треугольных пирамид данного объёма, име-

42

ющих в качестве основания данный правильный треугольник,

найти пирамиду с наименьшей суммой длин рёбер. Тот же во-

прос про четырёхугольную пирамиду с основанием, совпадающим

с данным параллелограммом.

69. В пространстве даны три скрещивающиеся прямые. Как

выбрать по точке на каждой из этих прямых так, чтобы треуголь-

ник с вершинами в этих точках имел наименьший периметр?

70. Муха летает внутри правильного тетраэдра. Каким мог

быть кратчайший путь мухи, если она побывала на каждой грани

тетраэдра?

Навигация