§ 6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Back

<По обе стороны от места наибольшего значения убывание вна-

чале нечувствительно>.

И о г а н н К е п л е р

Итак, мы разобрали множество задач, и каждая из них име-

ла своё элегантное геометрическое решение. На практике, увы,

так получается далеко не всегда. Многие геометрические задачи

на минимум и максимум либо вовсе не имеют геометрического

решения, либо их геометрические решения существенно сложнее

аналитических. Таково положение вещей, и относиться к нему

можно по-разному. С одной стороны, это плохо. С другой сто-

роны, это обстоятельство всегда заставляло математиков искать

новые пути решения. В таких поисках к концу XVII века ро-

дилось и оформилось новое направление математики, вставшее

вровень с алгеброй и геометрией — математический анализ. Имен-

но задачам на максимум и минимум, наряду с задачами механики

и оптики, математический анализ обязан своим появлением. Прин-

цип решения многих экстремальных задач сводится к простому

и вместе с тем универсальному факту:

В точке максимума или минимума функции её производная

равна нулю.

Это утверждение часто называют теоремой Ферма (не путать

с великой теоремой Ферма и с малой теоремой Ферма в теории чи-

сел!), поскольку именно Пьер Ферма впервые сформулировал его

в 1629 году в работе <Метод отыскания наибольших и наимень-

ших значений>. Свой метод Ферма назвал <De maximis et minimis>

(напомним, что научные работы в то время писались на латыни)

и продемонстрировал, как с его помощью можно решить задачу

Евклида: из всех прямоугольников с данным периметром найти

тот, который имеет наибольшую площадь. Надо сказать, что идея

вариационного метода в то время, что называется, витала в возду-

хе. Многие учёные развивали этот метод. Например, Иоганн Ке-

плер, слова которого из трактата <Стереометрия винных бочек>

K

M

A A′

B′

B

δ

β

α

Рис. 26

мы вынесли в эпиграф, или Исаак Нью-

тон, говоривший что <когда величина

является максимальной или минималь-

ной, в этот момент она не течёт ни впе-

рёд, ни назад>.

Напомним, что производной функ-

ции f(x) в точке x называется число a

такое, что

f(x+h)=f(x)+a・h+α(h) |h|,

где величина α(h) стремится к нулю при

h→0. Производную обозначают симво-

35

лом f′ , таким образом, f′ (x)=a. Для достаточно малых прираще-

ний h функция f(x+h) приближённо равна линейной функции

f(x)+ah, причём чем меньше h, тем это приближение точнее.

54. Через данную точку внутри угла провести отрезок с кон-

цами на сторонах угла, имеющий наименьшую длину.

Удивительно, что эта чисто геометрическая задача не имеет

столь же ясного геометрического решения. Все более или менее

короткие её решения используют производную. Интересно и то,

что многие похожие на неё задачи-близнецы, которые, на первый

взгляд, даже сложнее её, имеют простые геометрические реше-

ния. Например, провести отрезок через данную точку внутри угла,

отсекающий от угла треугольник минимальной площади или ми-

нимального периметра (задачи 56, 57).

Р е ше н и е. Обозначим кратчайший отрезок через AB, а дан-

ную фиксированную точку внутри угла — через M. Проведём

через M другой отрезок A′B′ с вершинами на сторонах угла. Пусть

δ — угол между A′B′ и AB. Функция f(δ)=A′B′ достигает своего

минимума в точке δ=0, поэтому f′ (0)=0. Применив теорему си-

нусов к треугольникам MBB′ и MAA′ , получим

MB′=MB

sin β

sin(β+δ)

, MA′=MA

sin α

sin(α−δ)

;

следовательно,

f(δ)−f(0)=A′B′−AB=MB′+MA′−MB−MA=

=MB_____

sin β

sin(β+δ)−1_____

+MA_____

sin α

sin(α−δ)−1_____

=

=−MB

2 sin

δ

2

cos _____

β+

δ

2_____ sin(β+δ)

+MA

2 sin

δ

2

cos _____

α−

δ

2_____ sin(α−δ)

.

Итак,

f(δ)−f(0)

δ

=−

2 sin

δ

2

δ

_________

MB

cos _____

β+

δ

2_____ sin(β+δ) −MA

cos _____

α−

δ

2_____ sin(α−δ)

_________

.

Поскольку

2 sin

δ

2

δ →1 при δ→0, и при этом

cos _____

β+

δ

2_____ sin(β+δ) →ctg β,

cos _____

α−

δ

2_____ sin(α−δ) →ctg α,

получаем окончательно

f′ (0)=−MB ctg β+MA ctg α.

36

Но так как f′ (0)=0, для кратчайшего

K A

B

H

M

α

β

Рис. 27

отрезка AB получаем такое условие:

MB ctg β=MA ctg α.

Что это означает геометрически?

Пусть K — вершина угла. Опустим

перпендикуляр KH на AB. Нетрудно

проверить, что

HB

HA

=

ctg β

ctg α

. С другой

K A

B

H

M

P

γγ α

Рис. 28

стороны,

MA

MB

=

ctg β

ctg α

, поэтому MA=HB

и MB=HA (рис. 27). Итак,

Кратчайший отрезок AB характери-

зуется следующим свойством: проек-

ция вершины угла на AB симметрич-

на точке M относительно середины

отрезка AB.

Почему мы лишь охарактеризовали

положение отрезка AB, а не дали спосо-

ба его построения? Дело в том, что для

произвольного угла этот отрезок не мо-

жет быть построен с помощью циркуля

и линейки. Именно поэтому эта <простая> геометрическая зада-

ча имеет столь громоздкое решение. Если бы существовало такое

построение, которое находило бы кратчайший отрезок для любо-

го угла, то оно годилось бы и для прямого угла (рис. 28). Если

угол K — прямой, то

MA

MB

=

ctg β

ctg α

=

ctg _____

π

2−α_____ ctg α

=tg2 α.

С другой стороны,

MA

MB

=

tg γ

tg α

, где γ — угол между KM и KA

(мы воспользовались подобием треугольников APM и AKB). Итак,

tg α=3√tg γ. Построить отрезок AB означает найти кубический

корень из числа tg γ. Последнее, как известно, не выполнимо с по-

мощью циркуля и линейки.

В экстремальных задачах довольно частой является ситуация,

когда возможно только охарактеризовать положение точки мини-

мума (максимума), но не найти её конструктивно.

Вариационный метод применим и к задачам с несколькими пе-

ременными, когда функция f(x) задана не на прямой, а, скажем,

на плоскости. При этом x — точка на плоскости с координатами

37

(x1, x2). Производная определяется по тому же принципу: произ-

водной в данной точке x называется вектор a=f′ (x) такой, что

f(x+h)=f(x)+a・h+α(h) |h|,

где h=(h1, h2) — произвольный вектор, называемый приращени-

ем аргумента x, число |h|=ph2

1+h22

— его длина, а величина α(h)

стремится к нулю при |h|→0. Разница только в том, что вместо

обычного произведения чисел теперь берётся скалярное произведе-

ние векторов a・h, равное произведению их длин на косинус угла

между ними. В координатах скалярное произведение выражается

как a・h=a1h1+a2h2.

В точке минимума или максимума функции f её производная

(если она существует) равна нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть f′ (x)=a6=0. Тогда

рассмотрим приращения h=ta, где t — положительное число.

Учитывая, что a・ta=t|a|2, получаем

f(x+ta)=f(x)+t|a|2+t|a|α(ta)=f(x)+t|a|(|a|+α(ta)).

При t→0 величина α(ta) стремится к нулю, поэтому при малых t

величина |a|+α(ta) — положительна, значит f(x+ta)>f(x). Таким

образом, точка x не является точкой максимума. Точно так же,

взяв приращение h=−ta, доказываем, что x не является и точкой

минимума.

В качестве примера найдём производную функции длины век-

тора f(x)=|x|. Эта производная понадобится нам во многих задачах.

Пользуясь тем, что |x|2=x・x, получаем

|x+h|−|x|=|x+h|2−|x2|

|x+h|+|x|

=

(x+h)・(x+h)−x・x

|x+h|+|x|

=

2x・h+h・h

|x+h|+|x|

.

Отсюда

|x+h|−|x|=

2x

|x+h|+|x| ・h+ |h|

|x+h|+|x| ・|h|

Если x6=0, то при h→0 величина |x+h|+|x| стремится к 2|x|,

а величина |h|

|x+h|+|x|

стремится к нулю. Поэтому

|x+h|−|x|=

x

|x| ・h+α(h) |h|.

где α(h)→0 при h→0. Отсюда следует, что f′ (x)=

x

|x|

. Итак,

Функция f(x)=|x| имеет производную в любой точке x, кроме

точки x=0. Эта производная является вектором единичной дли-

ны, сонаправленным с вектором x.

38

55. Задача о наименьшей сумме расстояний до k точек. На

плоскости дано k точек. Найти точку, сумма расстояний от кото-

рой до этих точек минимальна.

Р е ш е н и е. Обозначим через x1, . . ., xk данные точки, а че-

рез x — произвольную точку плоскости. Пусть также fi(x)=|x−xi| для i=1, . . ., k. Нужно найти точку x, для которой сумма f1(x)+

+. . .+fk(x) будет наименьшей. Производная функции fi(x) являет-

ся единичным вектором, сонаправленным вектору x−xi. Если x —

точка минимума, то либо сумма таких векторов равна нулю, либо

одна из функций fi не имеет производной в точке x, а это значит,

что x совпадает с точкой xi. Таким образом,

Точка минимума суммы расстояний либо совпадает с одной

из данных точек, либо характеризуется следующим свойством:

сумма k векторов единичной длины, направленных из этой точки

к данным k точкам, равна нулю.

При k=3 получаем точку Торричелли либо одну из вершин

треугольника (как мы знаем, вершину с углом ≥120◦), при k=4 —

точку пересечения диагоналей четырёхугольника, если четырёх-

угольник выпуклый, а если невыпуклый — то его вершину,

лежащую внутри треугольника с вершинами в трёх оставшихся

точках. При k≥5 эта точка, вообще говоря, не строится с помо-

щью циркуля и линейки.

Получается довольно странная ситуация. Если на плоскости

дано, скажем, 10 точек, то существует способ построения кратчай-

шей системы дорог, их связывающей (сеть Штейнера). Причём это

построение — точное, его можно сделать с помощью циркуля и ли-

нейки и найти точную длину. Если же нам нужно решить более,

казалось бы, простую задачу — найти точку, сумма расстояний от

которой до данных 10 точек минимальна (т. е. найти кратчайшую

не из всех систем дорог, а только из тех, которые сходятся в одном

перекрёстке), то эта задача в общем случае решается лишь при-

ближённо, а не точно. Про точку минимума мы ничего не знаем,

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Рис. 29

кроме того, что она существует, и того, что

сумма 10 единичных векторов из неё в дан-

ные точки равна нулю. С помощью циркуля

и линейки мы решение построить не можем.

56. Прямой, проходящей через данную

точку внутри угла, отрезать от этого угла

треугольник наименьшей площади. Най-

дите как геометрическое решение, так

и решение, использующее производную.

Какое из них проще?

57. То же, но для треугольника мини-

мального периметра. Найдите как геоме-

трическое решение, так и решение, ис-

39

пользующее производную.

58. Проведите касательную к данной окружности, лежащей

внутри угла, отсекающую от этого угла треугольник а) мини-

мальной площади; б) минимального периметра.

59. Через данную точку внутри угла провести прямую так,

чтобы сумма KA+KB была наименьшей (точка K — вершина уг-

ла, точки A и B — точки пересечения прямой со сторонами угла).

60. Пространственный четырёхугольник ABCD сделан из че-

тырёх стержней длины 1, шарнирно соединённых в вершинах.

В каком положении объём тетраэдра ABCD — наибольший? Че-

му равен этот наибольший объём?

61. Даны положительные числа a, b, c и треугольник ABC.

Охарактеризуйте положение точки M, для которой сумма aMA+

+bMB+cMC минимальна.

62. Если k точек не лежат на одной прямой, то существует

только одна точка с наименьшей суммой расстояний до них.

П о д с к а з к а. Предположим, что нашлись две точки с наименьшей сум-

мой расстояний. Докажите, что для середины отрезка, соединяющего эти точки,

сумма расстояний ещё меньше. Для этого воспользуйтесь тем, что медиана тре-

угольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.

63. Пусть M — точка внутри тетраэдра ABCD, для которой

сумма расстояний до вершин минимальна. Тогда противополож-

ные рёбра тетраэдра видны из точки M под равными углами,

а биссектрисы этих углов лежат на одной прямой.

64. На плоскости даны k точек и прямая линия. Охарактери-

зуйте положение точки плоскости, сумма расстояний от которой

до данных точек и до прямой — наименьшая.

65. В пространстве даны три точки и плоскость. Охарактери-

зуйте положение точки, сумма расстояний от которой до данных

точек и до плоскости — наименьшая.

Навигация