§ 3. ЗАДАЧА ФЕРМА—ТОРРИЧЕЛЛИ—ШТЕЙНЕРА

Back

История этой задачи насчитывает более трёх с половиной

столетий. Она была помещена в книге итальянского физика и ме-

ханика Вивиани <О максимальных и минимальных значениях>

в 1659 году. Винченто Вивиани (1622—1703) был учеником ве-

ликого Галилео Галилея. Нам он более известен как изобретатель

ртутного барометра (прибора для измерения атмосферного давле-

ния), а своим современникам — как один из лучших специалистов

по задачам на максимум и минимум, а также по теории кони-

ческих сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того

времени, снабдил длинным названием: <Пятая книга сочинений

Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в се-

бе первые исследования о наибольших и наименьших величинах

и признаётся самым замечательным памятником этого великого

геометра> (<De maximis et minimis geometrica divinatio in quintum

conicorum Apollonii Pergoei nunc desideratum>). Среди множества

задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая:

27. На плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной

прямой. Для какой точки T плоскости сумма расстояний AT+

+BT+CT наименьшая?

Ещё до книги Вивиани этой задачей интересовался итальян-

ский математик Бенавентура Кавальери (1598—1647), автор зна-

менитого <принципа Кавальери> для вычисления площадей и объ-

ёмов, предвосхитившего интегральное исчисление, а также мате-

матик и физик Эванджелиста Торричелли (1608—1647). Говорят,

что именно Торричелли получил первое решение этой задачи (ско-

рее всего, основанное на физических соображениях). Торричелли,

как и Вивиани, был учеником Галилея. Именно им в конце

своей жизни уже ослепший Галилей диктовал главы из своей

книги <Беседы о механике>. Подобно многим учёным позднего

Возрождения, Торричелли был разносторонним человеком. Бу-

дучи профессором математики Флорентийского университета, он

много занимался задачами физики (его закон распределения да-

вления жидкости известен теперь каждому школьнику), а также

механики, баллистики и оптики, и даже написал несколько ра-

бот по конструированию оптических приборов и шлифовке линз.

Согласно другим источникам, независимо от Торричелли, эту за-

дачу решил и величайший французский математик Пьер Ферма

(1601—1665). А первое чисто геометрическое решение принад-

лежит, по-видимому, швейцарскому геометру Якобу Штейнеру

(1796—1863), о котором речь ещё впереди.

Р е ше н и е. Вновь воспользуемся тем же приёмом: выстроим

отрезки AT, BT и CT в ломаную линию. Теперь, однако, вместо

A B

C

D

T

N

Рис. 13

симметрии применим поворот. Повер-

нём плоскость на 60◦ вокруг точки A,

при этом точка C перейдёт в некоторую

точку D, а точка T — в точку N. Тре-

угольник AND равен треугольнику ATC,

поскольку переходит в него при повороте

на 60◦, значит TC=ND. Треугольник

ANT — равносторонний, так как AT=

=AN и \TAN=60◦, поэтому TA=TN.

Итак, сумма AT+BT+CT равна длине

ломаной BTND, а значит, она не меньше

длины отрезка BD (рис. 13).

Равенство достигается, когда точки B, T, N,

A

C

B

T

120◦

Рис. 14

и D лежат на одной прямой (в указанной по-

следовательности). Это означает, что \BTA+

+\ATN=180◦ и, следовательно, \BTA=

=120◦; а также \AND+\ANT=180◦, значит,

\AND=120◦, поэтому \ATC=120◦. Таким

образом, лучи TA, TB и TC образуют два

угла в 120◦, поэтому и третий угол между

ними также равен 120◦ (рис. 14).

Точка T, из которой все стороны тре-

угольника видны под углами 120◦, имеет несколько названий.

Иногда её называют точкой Ферма, иногда — точкой Торричелли,

иногда — точкой Штейнера. Доказательство, которое мы привели,

с поворотом плоскости на 60◦, принадлежит ЯкобуШтейнеру. С его

замечательными результатами мы ещё не раз встретимся в этой

книге. А первым по времени из этих трёх математиков был Торри-

челли. Поэтому мы будем называть эту точку, по праву первенства,

точкой Торричелли (мы и обозначили её буквой T). Это ещё од-

на замечательная точка треугольника, наряду с центром тяжести

(точкой пересечения медиан), ортоцентром (точкой пересечения

высот), центрами вписанной и описанной окружностей. Правда,

в отличие от четырёх замечательных точек, точка Торричелли су-

ществует не у любого треугольника. Однако мы уже доказали, что

Если у треугольника есть точка Торричелли, то она является

единственной точкой минимума суммы расстояний до вершин

треугольника.

Когда же точка Торричелли существует? Пусть из трёх углов

треугольника угол при вершине A является наибольшим. Построим

на сторонах AC и AB вовнутрь треугольника ABC дуги окруж-

ностей, содержащие по 120◦. Эти дуги пересекаются в точке A.

Если же угол A меньше 120◦, то эти дуги имеют ещё и вторую точ-

ку пересечения (докажите это!), которую мы обозначим через T.

Это и есть точка Торричелли. В самом деле, так как углы ATC

и ATB по построению равны 120◦, то и третий угол BTC так-

же получается равен 360◦−120◦ ・2=120◦. И наоборот, если точка

Торричелли существует, то она строится именно таким образом,

поскольку должна лежать на пересечении дуг окружностей вели-

чиной в 120◦, построенных на сторонах треугольника. Итак,

Треугольник имеет точку Торричелли тогда и только тогда,

когда все его углы меньше 120◦.

А если один из углов треугольника больше или равен 120◦

(например, угол A), то в какой точке сумма расстояний до вершин

будет минимальна? Ответ: в вершине этого угла. Доказать это

просто. Пусть \A≥120◦, а M — произвольная точка плоскости.

Если M не лежит внутри угла A, то один из углов MAC или MAB —

тупой (пусть это угол MAC), а зна-

AA

B

C

D

M

N

Рис. 15

чит, MC>AC, с другой стороны,

по неравенству треугольника, MA+

+MB>AB, поэтому

MA+MB+MC>AB+AC.

Если же M лежит внутри угла A,

то вновь повернём плоскость на 60◦

(рис. 15), и получим, что треугольник BAD лежит внутри че-

тырёхугольника BMND, поэтому периметр треугольника меньше

периметра четырёхугольника. Следовательно,

AB+AC=AB+AD<BM+MN+ND=BM+AM+CM.

Теорема Торричелли—Ферма—Штейнера. Если все углы тре-

угольника меньше 120◦, то точкой минимума суммы расстояний

до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов

больше или равен 120◦, то такой точкой является вершина этого

угла.

28. Все углы треугольника ABC меньше 120◦. На его сторо-

нах во внешнюю сторону построены равносторонние треуголь-

ники ABC′ , BCA′ и CAB′ . Тогда описанные окружности этих

треугольников и отрезки AA′ , BB′ и CC′ пересекаются в одной

точке — точке Торричелли. Кроме того, AA′=BB′=CC′.

29 (теорема Наполеона). Центры описанных окружностей тре-

угольников ABC′ , BCA′ и CAB′ являются вершинами равносторон-

него треугольника (треугольника Наполеона). Чему равна сторона

треугольника Наполеона, если AA′=c?

Это утверждение приписывают Наполеону, хотя неизвестно, имеет ли он

к нему какое-либо отношение. Наполеон немного увлекался геометрией и вполне

уважительно относился к математике и математикам. Его окружало много вы-

дающихся математиков того времени — Лаплас, Монж, Фурье. Однако многие

историки полагают, что его авторство утверждения о равностороннем треугольни-

ке — не более чем миф, созданный придворными льстецами.

30. Если на сторонах данного треугольника построить во вну-

треннюю сторону равносторонние треугольники, то их центры

также являются вершинами равностороннего треугольника (вну-

треннего треугольника Наполеона). Разность площадей внешнего

и внутреннего треугольников Наполеона равна площади исходно-

го треугольника.

31 (теорема Помпею). Вокруг равностороннего треугольни-

ка ABC описана окружность. Если точка M лежит на меньшей

дуге AB этой окружности, то MC=MA+MB. Для всех осталь-

ных точек M плоскости выполнено неравенство MC<MA+MB.

32. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки

внутри равностороннего треугольника до его сторон — величина

постоянная. С помощью этого утверждения получите другое до-

казательство теоремы Ферма—Торричелли—Штейнера.

П о д с к а з к а. Через каждую вершину треугольника проведите прямую,

перпендикулярную отрезку, соединяющему эту вершину с точкой Торричелли.

Эти прямые образуют равносторонний треугольник.

33. На плоскости даны две точки и прямая. Найдите точку,

сумма расстояний от которой до данных точек и до прямой

минимальна.

34. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Для какой точ-

ки плоскости сумма расстояний до его вершин будет наимень-

шей? Ответ ясен: для точки пересечения диагоналей. Пусть тре-

угольник ABC — остроугольный. Представим, что вершина D при-

ближается к вершине C. Тогда четырёхугольник ABCD стремит-

ся к треугольнику ABC, а точка минимума суммы расстояний —

точка пересечения диагоналей — стремится к вершине C. В пре-

деле получим, что вершина C — точка минимума суммы расстоя-

ний для треугольника ABC. Но ведь на самом деле, как мы знаем,

минимум суммы расстояний до вершин треугольника ABC дости-

гается в его точке Торричелли, а не в вершине C. Противоречие?

35. Для трёх точек A, B и C на плоскости найдите такую

точку M, для которой значение выражения а) AM+BM+2CM;

б) AM+BM−CM достигает наименьшего значения.

Навигация