§ 2. ФОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОНИК

Back

<Закон гиперболических зеркал таков: лучи света, падая на

внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся

все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно>.

А. Н. Т о л с т о й, <Гиперболоид инженера Гарина>.

Коникой, или коническим сечением, или квадрикой называ-

ется кривая, полученная в пересечении плоскости с конусом.

Под конусом, как обычно, понимается прямой круговой конус:

фигура, которая состоит из прямых, проходящих через данную

точку A и образующих данный угол α<90◦ с прямой l, проходя-

щей через точку A. При этом мы считаем, что конус образован

именно прямыми, а не лучами или отрезками (как определяет-

ся в школьных учебниках). Эти прямые называются образующими

конуса (поскольку именно они образуют конус), прямая l — его

осью, а точка A — его вершиной. Таким образом, конус является

неограниченной фигурой и состоит из двух половинок, централь-

но-симметричных относительно вершины A.

Если пересечь конус плоскостью, не проходящей через верши-

ну, получим коническое сечение. Конические сечения бывают трёх

видов: эллипс, гипербола и парабола. Эллипс получается, когда

плоскость не параллельна ни одной из образующих и пересека-

ет только одну половину конуса (рис. 5, а), гипербола — когда

плоскость пересекает обе половины (рис. 5, б), а парабола — ко-

гда плоскость параллельна одной из образующих (рис. 5, в). Мы

не будем рассматривать вырожденные коники, соответствующие

случаю, когда плоскость проходит через вершину конуса (в этом

случае может получиться либо пара прямых, либо одна прямая,

либо точка).

<Позвольте>, — возразит читатель, — <в школе давались сов-

сем другие определения. Парабола задаётся уравнением y=ax2, ги-

пербола — уравнением y=

k

x

, а эллипс — уравнением

x2

a2+

y2

b2=1.

Эллипс, к тому же, является геометрическим местом точек плоско-

сти, сумма расстояний от которых до двух данных точек постоян-

на. Так это те же кривые или другие?>. Кривые, конечно, те же.

Все определения этих кривых равносильны, за исключением, раз-

ве что, гиперболы, которая не всегда задаётся уравнением y=k/x.

В т о р о е о п р е д е л е н и е к о н и а) ч е -

с к и х с е ч е н и й. Эллипс является геометри-

ческим местом точек M плоскости, таких что

F1M+F2M=c, где F1 и F2 — данные точки

плоскости, c — данное число, причём c>F1F2.

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.

Гипербола — геометрическое место точек M,

для которых |F1M−F2M|=c (точки F1, F2 —

фокусы гиперболы). Парабола — геометриче-

ское место точек, равноудалённых от данной

точки F и от данной прямой d (точка F — фо-

кус параболы, прямая d — её директриса).

Для того чтобы показать, что это определе-

б)

ние равносильно предыдущему, впишем в конус

две сферы S1 и S2, касающиеся плоскости сече-

ния (они называются сферами Данделена). Че-

рез F1 и F2 обозначим точки касания этих сфер

с плоскостью (рис. 6). Сфера касается поверхно-

сти конуса по окружности, которую мы назовём

поясом сферы. Для любой точки M эллипса

отрезки MF1 и MT1 равны как касательные

из одной точки к сфере (T1 — точка пересе-

чения пояса сферы S1 с образующей конуса,

проходящей через точку M), а MF2=MT2. Та-

ким образом, MF1+MF2=T1T2, значит, сумма

расстояний от точки эллипса до фокусов рав-

на расстоянию между двумя поясами и потому

не зависит от точки M.

Точно так же доказывается, что для гипер-

в)

Рис. 5

болы величина |MF1−MF2| равна расстоянию

между поясами (рис. 7).

Если же плоскость сечения параллельна

образующей, то существует только одна сфе-

ра, вписанная в конус и касающаяся плоскости

сечения (почему?). Обозначим через F точку ка-

сания сферы и плоскости, а через d — прямую,

по которой эта плоскость пересекается с плос-

костью пояса (рис. 8). Тогда MF=MT, а кроме

того, если опустить перпендикуляр MH на пря-

мую d, то MT=MH, поскольку эти отрезки

образуют равные углы с плоскостью пояса (пер-

вый лежит на образующей конуса, второй па-

раллелен другой образующей). Таким образом,

расстояния от точки M до фокуса F и до ди-

ректрисы d равны.

M

T2

T1

1 F1 1 F1 F1 F1 F1

2 F2 2 F2 F2 F2 F2

Рис. 6

9

M

T2

T1

F1

F2 2 F2 2 F2 F2 F2

Рис. 7

10

M

T H

FF

d

Рис. 8

Конические сечения были известны ещё математикам Древней

Греции. Так, Менехм в середине IV века до н. э. доказал, что эл-

липс, гипербола и парабола являются сечениями конуса. Наиболее

полное исследование конических сечений изложено в книге <Ко-

ника> Аполлония Пергского, написанной, как считается, между

210 и 200 годами до н. э. Аполлоний был третьим после Евкли-

да и Архимеда великим представителем Александрийской школы.

Его <Коника> — настоящий научный подвиг. Это грандиозный

труд, состоящий из восьми книг. В первых семи книгах, дошедших

до нас, содержится 387 теорем, подчас весьма сложных, с подроб-

ными доказательствами. В течение двух тысячелетий <Коника>

была настольной книгой математиков и главным руководством

по изучению конических сечений. Теория конических сечений

изложена Аполлонием настолько подробно и глубоко, что матема-

тикам мало что удавалось добавить нового, несмотря на бурный

прогресс математической науки.

16. На плоскости даны прямая d и точка F. Пусть задано

положительное число k. Найдите геометрическое место точек,

для которых отношение расстояний до F и до d равно k.

17. На плоскости даны две окружности. Найдите геометри-

ческое место центров всевозможных окружностей, касающихся

двух данных.

Конические сечения обладают многими замечательными свой-

ствами, из которых оптические, или, как их называют, <фокаль-

ные>, свойства занимают особое место. Перед тем как сформули-

ровать и доказать эти свойства, дадим ещё одно, аналитическое

определение коник, без которого наш рассказ был бы не полон.

Т р е т ь е о п р е д е л е н и е к о н и ч е с к и х с е ч е н и й. Эллипс

задаётся на координатной плоскости уравнением

x2

a2+

y2

b2=1, ги-

пербола — уравнением

x2

a2−

y2

b2=1, парабола — уравнением y=ax2.

Читатель без труда выведет уравнения этих кривых, при этом

фокусы эллипса и гиперболы нужно расположить на оси Ox сим-

метрично относительно начала координат, а фокус параболы —

на оси Oy. Если a=b, то эллипс превращается в окружность радиу-

са a, а гипербола в этом случае становится так называемой прямой

гиперболой, которая после поворота на 45◦ относительно начала ко-

ординат принимает вполне знакомый вид y=k/x, где k=a2/2.

Из уравнения эллипса видно, что он получается из окружности

после сжатия вдоль оси Oy в a/b раз, чем оправдывает слова

о том, что он является <сжатой окружностью>. Это можно было

бы установить и без уравнения. Дело в том, что эллипс получается

в сечении не только конуса, но и цилиндра (рис. 9), при этом дока-

зательство почти не меняется. Следовательно,

M

T1

T2

1 F1 1 F1 F1 F1 F1

2 F2 2 F2 F2 F2 F2

Рис. 9

при проецировании на основание цилиндра

эллипс переходит в окружность. Остаётся за-

метить, что проецирование на плоскость экви-

валентно сжатию относительно подходящей

прямой.

Всякое уравнение второй степени

p(x, y)=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,

если имеет действительные корни, задаёт ко-

нику. Чтобы убедиться в этом, нужно повер-

нуть плоскость на угол α, такой что

ctg 2α=

c−a

2b

,

тем самым уничтожив слагаемое 2bxy, за-

тем сделать параллельный перенос так, чтобы

уничтожить линейные члены 2dx и 2ey. По-

лучившееся уравнение либо будет задавать

вырожденную конику (пару прямых, прямую или точку), либо

(возможно, после перемены местами координат x и y) совпадёт

с уравнением эллипса, гиперболы или параболы.

Теперь всё готово для изучения фокального свойства коник.

Теорема. Касательная к эллипсу (гиперболе) образует рав-

ные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фоку-

сами. В случае гиперболы касательная является биссектрисой

угла F1MF2, а в случае эллипса — биссектрисой смежного угла.

Касательная к параболе, проведённая в точке M, образует рав-

ные углы с прямой MF и осью параболы (рис. 10).

M

F1 F2

а)

M

F1 F2

б)

F

M

d

в)

Рис. 10

Таким образом, луч света, вышедший из фокуса эллипса, отра-

зится от его поверхности и попадёт во второй фокус. Если в фокусе

эллипса находится источник света, то пучок световых лучей после

отражения от поверхности эллипса сойдётся во втором фокусе.

Если источник света поместить в одном из фокусов гиперболы,

то отражённый пучок световых лучей будет расходящимся, а во-

ображаемые продолжения лучей соберутся во втором фокусе.

Наконец, пучок света, выходящий из фокуса параболы, отра-

зившись от её поверхности, становится пучком параллельных лучей.

Фокальное свойство параболы, открытое ещё Аполлонием, ны-

не используется повсеместно. Параболическое зеркало в карманном

фонарике создаёт узкий направленный световой луч. Принцип

работы параболической антенны или параболического зеркала в те-

лескопе также основан на свойстве параболы превращать пучок

параллельных лучей (а значит, и лучей, идущих от далёкого ис-

точника) в пучок, сходящийся в одной точке.

В фантастическом романе Алексея Толстого <Гиперболоид инже-

нера Гарина> устройство страшного разрушительного оружия — ги-

перболоида, которым Гарин хотел покорить мир, — описывалось так:

<Гарин, раскрывая чемодан, посматривал на неё обведёнными синевой блестя-

щими глазами.

— Вот мой аппарат, — сказал он, ставя на стол два металлических ящика:

один — узкий, в виде отрезка трубы, другой — плоский, двенадцатигранный —

втрое большего диаметра. . .

Он наклонился над Зоиным креслом (вдохнул запах её волос), развернул

чертёжик, размером с половину листа писчей бумаги.

— Вы хотели, Зоя, чтобы я также рискнул всем в нашей игре. . . Смотрите

сюда. . . Это основная схема. . . Это просто, как дважды два. Чистая случайность,

что это до сих пор не было построено. Весь секрет в гиперболическом зеркале A,

напоминающем формой зеркало обыкновенного прожектора, и в кусочке шамо-

нита B, сделанном также в виде гиперболической сферы. Закон гиперболических

зеркал таков: лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зер-

кала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь, вот

что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гипербо-

лу (очерченную, так сказать, навыворот) — гиперболоид вращения B, выточенный

из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала — шамонита, — залежи его

на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами? Лучи, собираясь

в фокусе зеркала A, падают на поверхность гиперболоида B, и отражаются от не-

го математически параллельно, — иными словами, гиперболоид B концентрирует

все лучи в один луч, или в <лучевой шнур> любой толщины. . . Путём установки

гиперболоида B, я доводил <лучевой шнур> до толщины вязальнойспицы и легко

разрезывал им дюймовую доску. . . Здания, крепости, дредноуты, воздушные кора-

бли, горы, кора земли — всё пронижет, разрежет мой луч. . .>

Вы наверняка заметили несколько неточностей в конструкции

гиперболоида. Гиперболическое зеркало переводит пучок свето-

вых лучей, выходящих из фокуса, не в сходящийся, а, напротив,

в расходящийся пучок света. Как мы теперь знаем, лучи вовсе

не сойдутся в фокусе гиперболы. Это их воображаемые продолже-

ния сойдутся в фокусе. Для того чтобы отражённые лучи сошлись

в фокусе, внешнее зеркало A должно иметь форму не гипербо-

лы, а эллипса. А чтобы внутреннее зеркало B переводило пу-

чок отражённых лучей в параллельный пучок (<лучевой шнур>),

оно должно иметь форму, опять же, не гиперболы, а параболы

(рис. 11). В этом писатель ошибся. Парадоксально, но в известном

B A

лучевой

шнур

Рис. 11

теперь всему миру гиперболоиде инженера Гарина на самом де-

ле нет ни одного гиперболоида. Внешнее зеркало A должно иметь

форму эллипсоида, а внутреннее B — параболоида.

Нам осталось доказать фокальные свойства коник.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Проведём касательную

к эллипсу в точке M. Точка M лежит на эллипсе, поэтому MF1+

+MF2=c, все остальные точки касательной лежат вне эллипса,

поэтому для остальных точек сумма расстояний до фокусов боль-

ше c. Таким образом, в точке M достигается минимум суммы

расстояний до точек F1 и F2. Значит, точка, симметричная F2 от-

носительно касательной, лежит на прямой F1M, откуда следует

фокальное свойство. Точно так же доказывается фокальное свой-

ство гиперболы (при этом применяется результат задачи 7).

Докажем фокальное свойство параболы. Опустим из произ-

вольной точки M параболы перпендикуляр MH на директрису

и проведём прямую, которая делит угол HMF пополам (рис. 12).

Любая точка этой прямой равноудалена от точек F и H, а значит,

расстояние от неё до точки F больше, чем до директрисы (если

только эта точка не совпадает с M). Поэтому все точки этой пря-

мой, кроме M, лежат вне параболы. Значит это — касательная.

Таким образом, касательная образует равные углы с прямой FM

и осью параболы.

18. Дано семейство эллипсов с фокусами в двух данных точ-

ках F1 и F2, а также семейство гипербол с фокусами в тех же

F

d

H

M

N

Рис. 12

точках F1, F2. Тогда любой эллипс пер-

вого семейства перпендикулярен любой

гиперболе второго семейства (две линии

называются перпендикулярными, если

касательные к ним, проведённые в их

точке пересечения, перпендикулярны).

19. Рассмотрим множество углов на

плоскости, у каждого из которых од-

на сторона лежит на данной прямой,

а другая проходит через данную точку.

Тогда биссектрисы всех этих углов касаются одной параболы.

(В таком случае говорят, что эта парабола является огибающей

данного семейства прямых.)

20. Из любой точки директрисы парабола видна под прямым

углом.

21. На плоскости дан угол. Найти огибающую всевозможных

прямых, отсекающих от него треугольник данной площади.

22. На плоскости дана окружность и точка A. На окружности

берётся произвольная точка N и через неё проводится перпенди-

куляр к прямой AN. Тогда

а) если A лежит внутри окружности, то все такие перпендику-

ляры касаются эллипса;

б) если A лежит вне окружности, то все перпендикуляры каса-

ются гиперболы.

в) Соответствует ли <пограничный> случай (точка A лежит

на окружности) параболе? Сформулируйте и докажите утвержде-

ние, аналогичное а) и б), которое бы соответствовало параболе.

23. Все точки, из которых эллипс виден под прямым углом,

образуют окружность.

24 (теорема Шюллера). К параболе проведены три касатель-

ные. Описанная окружность треугольника, образованного этими

касательными, проходит через фокус, а точка пересечения высот

этого треугольника лежит на директрисе.

25. На плоскости дана прямая, точка C, лежащая на ней,

и точки A и B, не лежащие на ней. На прямой берётся точка M.

Найти огибающую прямых, симметричных прямой BM относи-

тельно биссектрисы угла AMC.

26. Луч света, идущий внутри эллипса и не проходящий че-

рез его фокусы, последовательно отражается от его поверхности,

двигаясь по ломаной линии. Докажите, что все стороны этой

ломаной касаются некоторого эллипса. Где расположены его фо-

кусы? Во что превращается этот эллипс, если луч проходит через

фокус исходного эллипса?

Навигация