§ 1. ЗАДАЧА ФАНЬЯНО

Back

В начале XVIII века итальянский инженер и математик Фа-

ньяно деи Тоски (1682—1766) поставил следующую задачу:

10. Вписать в данный остроугольный треугольник ABC тре-

угольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне

треугольника ABC лежала одна вершина треугольника.

Воспользуемся тем же приёмом: с помо-

A B

C

A1

B1

C1

A2

A3

P

Q

Рис. 3

щью движений плоскости попробуем выстро-

ить стороны вписанного треугольника в лома-

ную линию. Тогда периметр будет не меньше

отрезка, соединяющего концы этой ломаной.

А наименьший периметр будет соответство-

вать случаю, когда стороны ломаной лежат

на одной прямой.

Итак, пусть точки A1, B1, C1 лежат на сто-

ронах треугольника ABC (A1 — на стороне BC

и т. д.). Отразим точку A1 симметрично отно-

сительно сторон AB и AC, получив точки A2

и A3 соответственно (рис. 3). Длина трёхзвен-

ной ломаной A3B1C1A2 равна периметру тре-

угольника A1B1C1. Для того, чтобы периметр

5

был наименьшим (равным отрезку A2A3),

A B

C

A1

A2

A3

Рис. 4

нужно, чтобы вершины B1 и C1 лежали

в точках пересечения отрезка A2A3 со сто-

ронами треугольника AB и AC. Осталось

понять, как выбрать точку A1 на сторо-

не BC таким образом, чтобы длина отрез-

ка A2A3 была наименьшей. Для этого за-

метим, что треугольник A2AA3 — равнобе-

дренный (A3A=A2A=A1A), а угол при его

вершине A равен 2\BAC и потому не зави-

сит от выбора точки A1 (рис. 4).

Итак, при движении точки A1 по сторо-

не BC углы треугольника A2AA3 не меняют-

ся. А его линейные размеры будут наимень-

шими, когда наименьшей будет сторона A2A, которая равна A1A.

Значит, A1A — высота, опущенная на сторону BC.

Мы видим, что существует единственный вписанный треуголь-

ник наименьшего периметра, его вершина A1 — основание высоты.

Если провести те же рассуждения c вершинами B1 и C1, получим,

что они также являются основаниями высот (поскольку треуголь-

ник минимального периметра — единственный!)

Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников, вписанных в дан-

ный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет

ортотреугольник (т. е. треугольник с вершинами в основаниях

высот).

11. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные

углы с соответствующей стороной исходного треугольника. Среди

всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только

ортотреугольник обладает указанным свойством*).

12. Высоты треугольника являются биссектрисами углов орто-

треугольника.

Луч света, пущенный вдоль одной из сторон ортотреугольни-

ка, отразится последовательно от всех сторон треугольника ABC

и вернётся в исходную точку. Таким образом, контур ортотреуголь-

ника представляет собой замкнутую траекторию луча света. Если

сдвинуть три зеркала так, чтобы они образовали остроугольный

треугольник, то луч света, идущий по сторонам ортотреугольни-

ка, замкнётся и никогда не выйдет наружу. Математики говорят,

что стороны ортотреугольника образуют биллиард для данного тре-

угольника.

13. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведе-

нию высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.

*) В задачах на доказательство мы будем только формулировать утверждение,

а слова <доказать, что> будем опускать.

6

Получаем, что три таких произведения в треугольнике равны

между собой. Докажите, что на самом деле они равны удвоенной

площади, делённой на радиус описанной окружности.

14. Исследуйте задачуФаньяно для тупоугольного треугольника.

15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для ка-

ких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минималь-

ного периметра существует? Будет ли он единственным?

Навигация